はじめに

本論文では、保育所の入所選考にマッチング理論を適用することで、入所選考の実務にて利用可能なマッチングについて提案しています。

日本の保育所入所選考を取り扱ったこれまでの論文では、きょうだいや転園を考慮できていない、または同一世帯から同時に申し込むきょうだいの数に制限がある、という課題がありました。

そこで、本論文ではこれらの課題に対処し、以下のような貢献をしました。

• 以下の性質を満たすマッチング結果を導いた
  • 個人合理性、安定性と呼ばれる望ましい性質を満たす
  • きょうだいの数に制限を設けない
  • 転園に対応する
  • 異年齢間で定員を共有できる
• 制約プログラミング（Constraint Programming：CP）による高速な計算

このモデルを実際のデータに適用したところ、実際のマッチング結果よりも少なくとも同等以上に望ましいマッチング結果を得ることができました。また、一部の制約を緩和することで待機児童を更に減少できることを確認しました。

また、本論文はSun et al. [2]を発展させた論文です。保育所入所選考の問題意識や難しさについては、Sun et al. [2]を解説したブログに詳しく記載していますので、あわせてご覧ください。

これまでの保育所入所選考に関する研究

日本の保育所入所選考における待機児童問題は、社会的な問題として注目されており、国や自治体において待機児童対策が進められています。この問題の解決策のひとつとして、資源の最適な配分を考える学問であるマッチング理論を適用することが考えられます。実際に、マッチング理論を用いた保育所入所選考について、いくつかの研究があります。

Okumura[3]とKamada and Kojima[4]は、待機児童を最大限削減するため、異年齢間で定員を融通することを提案しました。例えば、保育所では、1歳や2歳について募集人数の余裕がなく、多くの待機児童が存在している一方、4歳や5歳については募集人数に余裕がある場合が存在します。これらの研究では、ある年齢にて余剰となっている保育士や面積といった資源を、募集人数に余裕のない年齢に振り分けることで、全体の待機児童を減少させるアルゴリズムが提案されています。しかし、これらの研究では、

• きょうだい同時申し込みに対応していない
• 転園を希望する場合に対応していない

という問題があり、これらのアルゴリズムを保育所入所選考の実務にそのまま適用することはできませんでした。

Sun et al. [2]では、線形計画法の一種である整数計画法を用いて、以下のようなマッチングを導く方法を提案しました。

• 3人までのきょうだい同時申し込みに対応
• 転園にも対応
• 以下の性質を満たす
  • 個人合理性：希望していない保育所に割り当てない
  • 公平性：優先順位が高い人を優先して割り当てる
  • 非浪費性：「その保育所を希望する応募者がいるにもかかわらず受け入れ枠に空きがある状況」（浪費的な状況）をつくらない

しかし、この研究には、以下のような問題がありました。

• 4人以上のきょうだい同時申し込みに対応していない
• 異年齢間の定員共有に対応していない

異年齢間の定員共有を行っている保育所では、例えば4歳と5歳で合計5名まで受け入れ可能、という具合に、異年齢間で定員を共有しています。このような保育所がある自治体では、4歳と5歳の児童を年齢に関係なく優先順位が高い順にその保育所へとマッチングさせる必要があります。また、こういった保育所が複数存在している自治体では、入所選考が複雑になります。

この論文の貢献

そこで、本論文ではSun et al. [2]の制約をクリアする新たなアルゴリズムを提案しました。本論文による貢献は次の通りです。

• 以下の性質を満たすマッチング方法（この記事では「CPモデル」と呼ぶことにします）の提案
  • 個人合理性、安定性（公平性と非浪費性）を満たす
  • きょうだい同時申し込みの人数制限がない
  • 異年齢間の定員共有ができる
• CPモデルによるシミュレーション
  • CPモデルによるマッチング結果と実際のマッチング結果とを比較すると、実際の割り当てよりも少なくとも同等以上に望ましいマッチング結果が得られる
  • 制約を緩和することによってマッチングできる児童が増える
• 制約プログラミング（CP）によるモデリングおよび高速化
  • NP困難である保育所マッチング問題に対して、CPを使うことで高速化を実現
• 計算複雑性に関する問題
  • 初期配分と異なる、実現可能で個人合理的なマッチングが存在するかどうかチェックすることが、NP完全であることを示した

以下では、CPモデルによるマッチング結果、および制約を緩和することで達成できるマッチング結果について解説します。

CPモデルによるマッチング結果

本論文で提案しているCPモデルによるマッチング結果と、自治体における実際のマッチング結果とを比較します。

ここでは、東京都渋谷区と多摩市（それぞれ2021 年度と 2022 年度の一斉入所）、および福島県郡山市から提供された 2022 年度の一斉入所のデータ（匿名加工処理済み）を利用しています。マッチした児童数は保育所に内定した児童の数です。また、ブロッキング連合の数についてもカウントしています。ブロッキング連合があると、ある児童にとってより望ましい保育所に入所できた可能性があることを示しており、これがゼロであれば公平なマッチングが実現できていると言えます。

表1 実際のマッチング結果（実際）とCPモデルによるマッチング結果（CP）との比較

表1は、各自治体における実際のマッチング結果とCPモデルのマッチング結果を比較したものです。この表から、CPモデルについて次のことが言えます。

• 各自治体で実際のマッチング結果と少なくとも同等以上に望ましいマッチングを達成できた
  • 渋谷区においては、実際のマッチングと同一の結果が得られた
  • それ以外の多摩市と郡山市においては、CPモデルを用いることで実際の結果よりも多く児童をマッチングできた。
• 公平なマッチングが実現できている
  • CPモデルではブロッキング連合が存在しないため、公平なマッチングが実現できていると言える

待機児童をさらに減少させるために

本論文では、CPモデルを用いてさらに待機児童を減少させるために、3つの案を示しています。

1. 同点解消をせず、無差別に取り扱う
2. ブロッキング連合を許容する
3. 異年齢間の定員共有をさらに許容する

1については、後述します。

2については、ブロッキング連合を許容することで、待機児童数を減少できることがシミュレーションでわかりました。しかし、公平なマッチングが実現できなくなる、計算時間が増えるという欠点があります。

3については、異年齢間の定員共有を許容することで、待機児童数が減ると期待されます。しかし、我々が保有するデータのうち、定員共有を許容しているデータではサイズが小さく、シミュレーションでは明確なことが言えませんでした。

同点を解消せず、同点者を無差別に取り扱うと、待機児童数は減少する

多くの自治体では、就労状況や世帯状況を指数化し、指数が高い児童から順に割り当てています。この際、指数が同点になることもあります。例えば、郡山市[5]では1月140時間以上の就労で200点加算され、育児休業明けだとさらに30点加算されます。つまり、両親ともにフルタイム勤務で育児休業明けの場合、合計430点となります。しかし、同様の世帯状況である申込者は多く、同じ点数の申込者が多数存在することが予想されます。

自治体はこのような事態を想定し、同点者に対してタイブレークするルールを設けています。郡山市では、「満3歳に達する日以後の最初の3月31日までを対象年齢とする保育施設等を満了する入所児童が連携施設を希望している場合」、「現に認定こども園を1号認定で利用している入所児童が、同施設で2号認定での利用を希望している場合」、「類型間の優先順位」、「養育している小学生以下の子どもの人数が多い世帯」、「経済的状況」…の順に優先することとなっています。

ここで、実際のルールを一旦無視して、タイブレークを行わず、同点者を無差別に取り扱った場合のシミュレーションを実施します。このCPモデルには、同点者に差をつけず、無差別に取り扱うことができる機能があるため、これを利用してシミュレーションを実施しました。このとき、個人合理性と安定性は保持されています。

表2では、各自治体データを用いて、CPモデルによるマッチング結果と、タイブレークせず同点者を無差別に取り扱ったCPモデルによるマッチング結果とを比較しています。

表2 CPモデルによるマッチング結果（CP）と、タイブレークせず同点者を無差別に取り扱ったCPモデルによるマッチング結果（CP無差別）の比較

表2では、同点者を無差別に扱うCP無差別において、いずれのデータでもマッチした児童の数が増加しています。CPモデルは最大限に待機児童を減らすという目的のもとでマッチングしています。同点者を無差別に扱うことにより、マッチングの自由度が増し、その結果マッチした児童の数が増えています。ただし、渋谷区2021の例のように、計算時間が大きく増加する可能性もあります。

社会実装に向けて

AI LabとGovTech開発センターは、本論文で示されたアルゴリズムを用いた自治体向け保育所入所選考システムを開発しており、自治体に提供することができます。

研究に基づいた保育所入所選考システムや、待機児童減少に向けた取り組みにご興味のある自治体の方はこちらからご連絡をください。

参考文献

[1] Sun, Z., Yamada, N., Takenami, Y., Moriwaki, D., & Yokoo, M. (in press) ”Stable Matchings in Practice: A Constraint Programming Approach”, AAAI, Thirty-Eighth AAAI Conference on Artificial Intelligence.

[2] Sun, Z., Takenami, Y., Moriwaki, D., Tomita, Y., & Yokoo, M. 2023. Daycare Matching in Japan: Transfers and Siblings. Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence, 37(12), 14487-14495.

[3] Okumura, Y. 2019. School choice with general constraints: a market design approach for the nursery school waiting list problem in Japan. The Japanese Economic Review, 70(4): 497–516.

[4] Kamada, Y.; and Kojima, F. 2023. Fair matching under constraints: Theory and applications. The Review of Economic Studies.

[5] 福島県郡山市. 2023. 郡山市保育施設等の利用調整及び保育の必要性の認定に関する事務取扱要領 https://www.city.koriyama.lg.jp/uploaded/attachment/69154.pdf

はじめに

保育所入所選考にはマッチング理論が応用できます。しかし、実務ではきょうだいや転園などに考慮する必要があるため、先行研究で提案されているアルゴリズムをそのまま実務に適用することはできません。そこで、本論文では実務で求められる性質を全て満たすアルゴリズムを整数計画法にてデザインしました。このアルゴリズムを実際のデータに適用したところ、実際の割り当てよりも少なくとも同等以上に望ましいマッチング結果を得ることができました。

保育所入所選考とマッチング理論

保育所を利用するときは、自治体で行う保育所入所選考を経る必要があります。

利用希望者は、居住している自治体に希望保育所名とその希望順位、世帯の就労状況等を記載した申請書を提出します。そして、自治体は申請された情報をもとに保育の必要性に応じた指数を決定し、指数順に児童を希望する保育所に割り当てます。まさに児童と保育所のマッチングです。AI Lab EconSIチームでは、マッチング理論による保育所入所選考の改善に取り組んでおり、東京大学マーケットデザインセンター（UTMD）と共同研究を行い、実際に東京都多摩市の制度変更に貢献しました。

保育所入所選考固有の問題

保育所入所選考を難しくさせる固有の問題として、きょうだいの存在と転園の存在があります。

きょうだい

異年齢・同年齢問わず、複数のきょうだいが同時に保育所を希望する場合があります。このとき応募者は、

• きょうだい全員を同時に入園させたいか、別の時期でも構わないか
• 同じ保育所への入園だけを希望するか、別々の保育所への入園でも構わないか

といった意思表示を行い、自治体に申請します。例えば、東京都渋谷区では希望の組み合わせを提出できるようになっています。自治体は、こうした希望に配慮して保育所を割り当てています。したがって、マッチングの際はきょうだいの希望の組み合わせを考慮する必要があります。

しかし、標準的なマッチングアルゴリズムではあくまで個人の割り当てを考えているため、きょうだいの希望の組み合わせを踏まえた割り当てには対応していません。例えば、きょうだい2名がともにA保育所が第一希望、B保育所を第二希望にしている場合、きょうだいが一緒に入れない（A保育所、B保育所）という組み合わせではなく、（B保育所、B保育所）の組み合わせを優先したいということがありえます。このように、きょうだいが希望する保育所の組み合わせのパターンによって希望順序が決まりますが、個人をもとにしたアルゴリズムではこうした構造を考慮できません。

転園

通園する保育所を変更したい場合、多くの自治体では転園を希望することができます。その際、転園希望者については、

• 希望する保育所に入園させる
• すでに入園している保育所（転園元）に戻る

のいずれかを実現し、待機児童にはさせない入所選考を行う必要があります。

さらに、

• 転園が成功すれば転園元に空きが出るため、希望者がいれば割り当てる必要がある
• きょうだいのうち1人が、あるいは全員が転園を希望する場合がある

ことにも留意する必要があります。

きょうだいと転園に関する先行研究

保育所入所選考におけるきょうだいと似た状況として、

• 学校選択制におけるきょうだいの申し込み
• 研修医マッチングにおけるカップルの存在

があります。

表1: 先行研究におけるきょうだいや転園の取り扱い状況（[1]のTable 1を改変）

表1では、保育所入所選考においてきょうだいを取り扱うにあたり重要な学校選択制、研修医マッチング、保育所入所選考の先行研究における

• 転園
• きょうだい・カップル
• きょうだいの希望の組み合わせ

の取り扱い状況をまとめました。一番下の本論文を除き、

• 転園のことを検討していない[2,3,5,6,7]
• きょうだい（カップル）が2名の場合のみを検討しているため、2人より多いきょうだいがいる場合に対応していない[4,5,6]
• きょうだいの組み合わせに制約がある。例えばきょうだいが同じ学校のみを希望していると仮定しているが、実際にはきょうだいが別の保育所を希望する場合もある[7.8]

という状況であり、先行研究にて提案されているアルゴリズムをそのまま保育所入所選考に応用することができません。

実務において要求される性質

きょうだい、転園の他に、保育所入所選考の実務において要求される性質として、次のようなものがあります。

• 個人合理性：希望していない保育所に割り当てない
• 公平性：優先順位が高い人から順に割り当てる
• 非浪費性：「その保育所を希望する応募者がいるにもかかわらず受け入れ枠に空きがある状況」（浪費的な状況）をつくらない

したがって、保育所入所選考の実務においては、割り当ての結果が以下の制約を満たしている必要があります。

• きょうだいへの対応
• 転園への対応
• 個人合理性
• 公平性
• 非浪費性

本論文の貢献

そこで、本論文では上記した制約を満たす新たなアルゴリズムをデザインしました。本論文による貢献は次の通りです。

• 実際のデータに基づき、日本で実施されている保育所入所選考を現実的なモデルとして定式化しました。転園、きょうだい、制約のないきょうだいの希望の組み合わせを全て取り扱った研究は我々の知る限り初めてです。
• これまでのマッチング理論で用いられてきた個人合理性(Individual Rationality)、非浪費性(Non-wastefulness)、公平性に関連するブロッキングペア(Blocking Pair)といった概念を、転園やきょうだいの組み合わせを考慮することで一般化しました。具体的には、個人をベースに構成されていたこれらの概念を、家族をベースにし、それぞれ家族合理性(Family Rationality)、家族非浪費性(Family Non-wastefulness)、ブロッキング連合(Blocking Coalition)として定義しました。
• きょうだい、転園、家族合理性、公平性（ブロッキング連合がない状態）、家族非浪費性に対応したアルゴリズムを開発し、実装しました。
• 自治体から提供された匿名データにてアルゴリズムの性能を確認したところ、実際の割り当てと少なくとも同等、自治体によっては上回る結果を得られることを確認しました。
• きょうだい、転園、家族合理性、公平性、家族非浪費性といったすべての制約を満たす解が存在しない場合があり、実際に児童が4人（うち2人はきょうだい）の例でそのような場合を例示しています。しかし、シミュレーションで用いたすべての自治体のデータで、これらすべての制約を満たす解が求められました。

モデル

本論文ではきょうだいに対応するため、家族をベースにしたモデルを設定しています。本論文のモデルは、次のインスタンス\(I\)にて記述しています。

$$I = (C, F, D, G, \omega, \succ_{C}, \succ_{F}, \succ_{D}, q)$$

それぞれ次を意味します。

• \(C\)：児童の集合
• \(F\)：家族の集合
• \(D\)：保育所の集合
• \(\omega(c)\)：児童\(c\)の転園元（転園元がない場合にも対応）
• \(\succ_C\)：\(D\)に対する各個人\(c \in C\)の選好順序\(\succ_c\)の集合
• \(\succ_F\)：\(D\)に対する各家族\(f \in F\)に属する児童\(C_f\)の選好の組み合わせ\(\succ_f\)の集合
• \(\succ_D\)：各個人\(c \in C\)に対する各保育所\(d \in D\)の優先順序\(\succ_d\)の集合
• \(q\)：各保育所の募集人数のベクトル

各児童\(c\)はひとつの家族\(f \in F\)に所属し、各家族\(f\)は児童の集合\(C_f \subseteq C\)により構成されます。

アルゴリズム

アルゴリズムは線形計画法の整数バージョンである整数計画法によりモデリングされています。具体的には、きょうだいの希望の組み合わせ、転園を考慮しつつ、家族合理性、公平性（ブロッキング連合がない状態）、家族非浪費性の制約下で、マッチングされる児童を最大化（待機児童を最小化）する問題を整数計画法により解いています。興味のある方は論文をご覧ください。

自治体データを用いたシミュレーション

実際の割り当ての結果と今回デザインしたアルゴリズムの結果の違いについて解説します。東京都の渋谷区と多摩市から提供された2021 年度と 2022 年度の一斉入所における希望者データ（匿名加工処理済み）と保育所データに対して、このアルゴリズムを用いたシミュレーションを行いました。そこで、各自治体における実際の割り当て結果とシミュレーションの結果とを比較・考察します。

表2: 実際の割り当て結果と本論文で提案されたアルゴリズムの割り当て結果の比較（[1]のTable 2を改変）

表2は、各自治体における実際の割り当て結果と本論文で提案されたアルゴリズム（提案手法）の割り当て結果を比較したものです。この表から 2 つのことが言えます。

1. 各自治体で性質の良い割り当てや待機児童が少ない割り当てが達成できました。多摩市においては、今回実装したアルゴリズム（提案手法）を用いることで実際の結果と同等以上に児童を割り当てているだけではなく、家族合理性と家族非浪費性を満たしています。また、渋谷区においては、実際のマッチングと同一の結果が得られました。
2. いずれの自治体、年度においてもアルゴリズム（提案手法）により公平性（ブロッキング連合がない状態）を満たすマッチング結果を得ることができました。

アルゴリズムの社会実装

AI LabとGovTech開発センターは、この論文で示されたアルゴリズムを用いた自治体向け保育所入所選考システムを開発しています。研究に基づいた保育所入所選考システムにご興味のある自治体の方はこちらからご連絡をください。

参考文献

[1] Sun, Z., Y. Takenami, D. Moriwaki, Y. Tomita, and M. Yokoo (in press) ”Daycare Matching in Japan: Transfers and Siblings”, AAAI, Thirty-Seventh AAAI Conference on Artificial Intelligence

[2] Biró, P.; Manlove, D. F.; and McBride, I. 2014. The hospitals/residents problem with couples: Complexity and integer programming models. In International Symposium on Experimental Algorithms, 10–21. Springer. 

[3]Manlove, D. F.; McBride, I.; and Trimble, J. 2017. “Almost stable” matchings in the Hospitals/Residents problem with

Couples. Constraints, 22(1): 50–72.

[4]Hamada, N.; Hsu, C.; Kurata, R.; Suzuki, T.; Ueda, S.; and Yokoo, M. 2017. Strategy-proof school choice mechanisms with minimum quotas and initial endowments. Artificial Intelligence, 249: 47–71. 

[5]Okumura, Y. 2019. School choice with general constraints: a market design approach for the nursery school waiting list problem in Japan. The Japanese Economic Review, 70(4): 497–516.

[6]Kamada, Y.; and Kojima, F. 2020. Fair matching under constraints: Theory and applications. Review of Economic Studies.

[7]Dur, U.; Morrill, T.; and Phan, W. 2022. Family Ties: School Assignment with Siblings. Theoretical Economics, 17(1): 89–120.

[8]Correa, J.; Epstein, N.; Epstein, R.; Escobar, J.; Rios, I.; Aramayo, N.; Bahamondes, B.; Bonet, C.; Castillo, M.; Cristi, A.; Epstein, B.; and Subiabre, F. 2022. School choice in Chile. Operations Research, 70(2): 1066–1087.

今回は、東京大学マーケットデザインセンター（UTMD）との共同研究の1つとして取り組んでいる「保育所マッチングプロジェクト」において、ともに実証実験に取り組んでいる東京都多摩市の制度を改善した事例を説明します。

この記事の概要

東京都多摩市では、2021年度までの保育所利用調整において、一部の応募者について希望施設の順位を考慮するルールを設けていました。しかし、マッチング理論の観点からすると、このルールは

• 正直に希望順位を申告せず、​​実際の希望とは異なる順位を申告することで得をする可能性がある

ため、正直な人が損をする可能性があります。

多摩市では、私たちの提言を受けて、2022 年度の募集からこのルールを廃止し、正直な希望施設を申告しても不利がない、シンプルな制度に変更しました。

また、2021年度と2022年度の一斉入所データを比較することで、

• 一部の応募者において、保育所利用に関する正直な希望の申告が促進されている可能性がある（ただし、統計的に有意ではなく誤差の可能性も否定できない）

という結果を得ました。

多摩市における利用調整の流れ

多摩市における保育所の利用調整は大まかに以下のような流れで行われます。

1. 各保育所各年齢別の募集定員の決定・募集要項公開
2. 保護者が希望する保育所のリストを記入した申込書を提出
   • 例：第1希望 A保育所　第2希望 B保育所　第3希望 C保育所 …
3. 各申込児童について「保育の必要性指数」を計算
4. 募集定員・各申込児童の希望保育所・「保育の必要性指数」・「優先順位」をもとに利用調整を行い、入園先を決定
5. 結果通知
6. 2次募集など

3.については、例えば、親の就労状況に基づき、保育の必要性が高い人については高い「保育の必要性指数」が割り当てられます。

4については、「保育の必要性指数」の同点者が複数いる場合に備えたタイブレークルールとして「優先順位」が存在しています。2021年度の優先順位は次のようなものでした。

図1：2021年度多摩市保育所利用調整における優先順位

「保育の必要性指数」が同じだった場合、まず優先順位1「市内在住者」かどうかでタイブレークを行います。もし複数の市内在住者がいる場合、続いて優先順位2でタイブレークを行う、という具合に続いていきます。

そして、空きがある保育所について、「保育の必要性指数」および「優先順位」の高い方から順に、希望する保育所への入所決定が行われます。

「希望施設順位ルール」と耐戦略性

「希望施設順位ルール」では正直な希望順位を申告しないほうがいい（かもしれない）

ここで、優先順位7「希望保育園の順位が高い者」というルールに注目します。このルールでは、優先順位6までで同順位が解消されずに同じ施設を希望する場合、第1希望の人を第2希望の人よりも、第2希望の人を第3希望の人よりも優先します。2021年度の一斉入所では、このルールが適用される応募者は78％もいました。

ここでは、この「希望保育園の順位が高い者」を優先するルールを、「希望施設順位ルール」と呼ぶことにします。「希望施設順位ルール」は、応募者の強い希望を叶えようとするルールに見えます。

しかし、このルールにより、

• 正直に希望順位を申告せず、​​実際の希望とは異なる順位を申告することで得をする可能性がある

があります。

例えば、本当は非常に人気のある保育所を第1希望としており、本来第2希望の保育所は第1希望と申告すれば入所できそうだが、第2希望では入所できなさそうな場合を考えます。このとき、本当の希望をそのまま申告すると第1希望にも第2希望にも入所できなさそうなため、本来第2希望だった保育所を第1希望として申告することで、無事、本来第2希望だった保育所に入所が決定されます。

耐戦略性：正直に申告することが一番

マッチング理論では、他の応募者の行動に関わらず、自身が希望する保育所の順位を正直に申告することが最適な戦略となるような利用調整方式を、耐戦略的な方式と呼びます[1]。耐戦略的な方式には、次のようなメリットがあります。

• 自身の本当の希望順位を記入するだけでよい
• そのため、申請が簡単
• 利用調整方式への理解度の違いによる不平等がない

耐戦略的な利用調整方式では、他の応募者の申込状況や保育所の募集人数を考慮して、本当の希望順位とは異なる希望順位を申告する必要がなくなります。そのため、自身の本当の希望順位を記入するだけでよくなり、保育所の申請が簡単になります。

一方、耐戦略性を満たさない利用調整方式は、前節で確認したように、正直に希望順位を申告せず、​​実際の希望とは異なる順位を申告することで得をする可能性があります。このような状況では、応募者が他の応募者の申込状況や保育所の募集人数を考慮し、戦略的な希望順位の申告に頭を悩ませる必要があります。さらに、自身の指数では本来もっと望ましい保育所に行けたはずなのに、過度に安全な希望順位を提出した結果、そこに行けないという状況も発生し得ます。また、耐戦略性を満たさない利用調整方式では本当の希望を申告しないことが想定され、実際にそのような実験結果が報告されています[2]。

さらに、耐戦略性を満たさない利用調整方式は、利用調整方式への理解度の違いにより、有利な応募者とそうではない応募者を生み出していることにも注目する必要があります[3]。耐戦略性を満たさない方式において、この方式をよく理解している応募者は自身に有利になるよう最適な希望順位を申告し、望ましい結果を得ることができますが、理解していない応募者は最適な希望順位を申告することができず、望ましい結果を得ることは難しくなります。一方、耐戦略性を満たす利用調整方式では自身の本当の希望順位を申告することが最適となるので、利用調整方式への理解度に関わらず、どの応募者も本当の希望順位を正直に申告するだけで望ましい結果が得られます

保育所の利用調整は行政が執行していることから、制度の透明性や明快さが重要です。耐戦略性を満たす、正直に申告するだけでいいという制度であれば、透明性や明快さが担保されると考えられます。

「希望施設順位ルール」と耐戦略性

「希望順位施設ルール」には耐戦略性がありません。先の例で見たように、自身の希望順位を偽るインセンティブがあるからです。この「希望順位施設ルール」と似たボストン方式と呼ばれる利用調整方式は耐戦略的ではないことが知られています[1]。そのため、「希望順位施設ルール」では次のようなデメリットが発生します。

• 他人の応募状況や保育所の募集人数を考慮し、自身の希望順位を最適化する必要がある（頭を悩ます）
• 利用調整方式を熟知している人は自身の希望順位を最適化し希望の保育所に入所できるが、そうではない人は希望を叶えることが難しい

利用調整ルールの変更

多摩市に対して「希望施設順位ルール」の問題点についてお伝えしたところ、2021年10月に開始する2022年4月一斉入所の募集時から利用調整ルールが変更され、優先順位から「希望保育園の順位が高い者」というルールが削除されました。優先順位7が市内在住日数に変わっていることにご注目ください。

図2：2022年度多摩市保育所利用調整における優先順位

このルールが削除されたことで、多摩市の利用調整方式は希望順位を偽って申告しても得をしない「逐次独裁方式」に近い方式へと改善されました。逐次独裁方式（Serial Dictatorship）とは、「保育の必要性指数」や「優先順位」の高い児童順に、残っている保育所の募集枠から一番希望の高い保育所に入所させる方式です[1]。

例えば、応募者Xさんが、第1希望：A保育所、第2希望：B保育所、第3希望：C保育所としており、Xさんの順番が来たときにA保育所の募集枠は埋まっているものの、B保育所、C保育所は空いている状況を考えます。このとき、逐次独裁方式では残っている保育所の募集枠から一番希望の高い保育所に入所させることから、Xさんを第2希望のB保育所に割り当てます。

また、逐次独裁方式は耐戦略的な利用調整方式であることも知られています。よって、この逐次独裁方式では、自身が希望する順番に保育所の希望順位を申告すべきであることがわかります。

厳密には、きょうだいの同所入所希望や転園を考慮していることから、多摩市の利用調整方式は完全な逐次独裁方式ではありませんが、従前の方式よりも希望順位を偽る余地が小さくなりました。ほとんどのケースで、他の申請者の希望とは関係なく、申請者が通いたい保育所を希望する順に記入しても不利益が発生せず、シンプルな意思決定で済むことが期待されます。

ルール変更の効果について

ここでは、制度の変更前後で応募者の希望が変化したかどうか、多摩市の2021年度一斉入所データと2022年度一斉入所データを比較することで確認します。

予想されること

2021年度までの利用調整では、「希望施設順位ルール」により、正直に希望順位を申告せず、​​実際の希望とは異なる順位を申告することで得をする可能性があることから、人気のある保育所を敬遠し、人気があまりなく確実に入所できそうな保育所を優先して希望していた可能性があります。

一方、2022年度の一斉入所からは、「希望施設順位ルール」がなくなったため、正直に人気のある保育所を希望しても不利ではなくなりました。そのため、あえて希望を偽ることなく、人気のある保育所を希望する応募者が増えることが予想されます。

分析

多摩市から提供された2021年度の一斉入所匿名データ（635名）と2022年の一斉入所匿名データ（550名）を用いて分析を行いました。

ここでは人気園の定義を、1歳児の第1希望園について、2021年度も2022年度も募集人員以上の応募があった保育所としました。この定義に基づくと、人気園は11園あり、それ以外は16園あります。

そして、2021年度と2022年度について、人気園が第1希望や第2希望に書かれた割合を比較しました。
また、2021年の応募者と2022年の応募者で人気園を選ぶ割合について統計的に有意な差があるのか、独立性のカイ二乗検定[4]（有意水準5％）で検証しました（帰無仮説：年度（2021年度、2022年度）と人気園を記入する確率は独立である）。

結果

2021年度と比較すると、2022年度の第1希望において人気園が記入される割合は減少したものの、第2希望において人気園が記入される割合は増加しました。

表1：全年齢で人気園を記入した割合

一方、独立性のカイ二乗検定（有意水準5％）は、第1希望・第2希望いずれについても棄却されました（p値：第1希望の場合0.53、第2希望の場合0.40）。そのため、2021年度と2022年度とで人気園を選ぶ割合について統計的に有意な差があったとは言えません。

次に、対象を「希望施設順位ルール」が適用されやすい「保育の必要性指数」が40点から42点で、かつ0歳から2歳の応募者にします。「保育の必要性指数」が40点から42点の応募者については、全体の6割前後を占めており、同点数となる人が多く、「希望施設順位ルール」が適用されやすい人たちです。そして、0歳から2歳の応募者については応募数が多く、募集人数よりも応募者数が上回ることもあることから、念入りに希望施設の順位を検討していることが想定されます。

この応募者たちについて2021年度と比較すると、2022年度の第1希望・第2希望いずれも人気園を書いた人の割合は増加しており、特に第2希望については7％増加しました。

表2：「保育の必要性指数」が40点から42点で、かつ0歳から2歳の応募者において人気園を記入した割合

しかし、独立性のカイ二乗検定（有意水準5％）は、第1希望・第2希望いずれについても棄却されました（p値：第1希望の場合0.53、第2希望の場合0.14）。第2希望についてはp値が低くなっているものの、2021年度と2022年度とで人気園を選ぶ割合について統計的に有意な差があったとは言えません。

ただし、ここで実施した検定が信頼できるものかどうかについては、厳密なRCTで得られたデータではなく、2021年度と2022年度の実際のデータの比較であり、統計的に必要な仮定を飛ばしていることも考えられ、留保が必要です。

また、サンプルサイズが限られており、検出力の限界により制度変更の効果が確認できなかった可能性もあります。もし、「保育の必要性指数」が40点から42点で、かつ0歳から2歳の応募者が何千人もいて、この結果が得られたのであれば統計的に有意となることが考えられますが、今回は全体で数百人程度であるため、統計的に制度変更の効果が確認できなかったということも考えられます。そのため、何も介入効果がなかったということを自信を持って言えるわけではない、ということも付記します。

結論

全体としては、制度の変更前後で応募者の希望が変化したとは結論し難い結果になりました。
一方、「希望施設順位ルール」が適用されやすい、指数が40点から42点で、クラス年齢が0歳から2歳の応募者に絞って比較すると、2021年よりも2022年のほうが人気のある保育所に集中する傾向が見られ、ルールの変更が行動の変化を促した可能性があります。ただし、統計的に有意ではなく、誤差である可能性も否定できません。

また、そもそも「希望施設順位ルール」が応募者にどれほど認知されていたのかということも検討する必要があります。日々の生活で忙しい人たちの中には入所案内を熟読しておらず、ルール変更を見落としていた人もいるかもしれません。

一方、検索エンジンで「保育所　順位」等で調べると、希望施設順位の書き方についてのノウハウが共有がされており、保活に熱心な応募者にのみこのルールが認知されていた可能性があります。

そのため、今回の制度変更により、ルールを熟知している応募者については行動変容を促し、そうではない応募者にはなんの変化もなかった可能性も考えられます。しかし、今回のデータでは「ルールを熟知している応募者」と「そうではない応募者」を判別できておらず、そのような分析は実施できませんでした。

おわりに

多摩市の保育所利用調整制度という実際の制度について、マーケットデザインという学問の観点から「希望施設順位ルール」という問題点を発見し、制度をアップデートした例をご紹介しました。

私たちの保育所マッチングプロジェクトでは、こういった既存制度のアップデートのほか、利用調整の本丸とも言える利用調整アルゴリズムの改良にもUTMDと取り組んでいます。

引き続き、マーケットデザインによる待機児童問題の解消を目指して取り組んでまいります。

参考文献

[1] 安田洋祐, 川越敏司, 小島武仁, 佐藤孝弘, 滝沢弘和,友枝健太郎, 成田悠輔：学校選択制のデザイン: ゲーム理論アプローチ, 叢書「制度を考える」, NTT 出版(2010)

[2] Yan Chen, Tayfun Sönmez, School choice: an experimental study, Journal of Economic Theory, Volume 127, Issue 1, 2006, Pages 202-231

[3] Haeringer, G., 栗野盛光：マーケットデザイン: オークションとマッチングの理論・実践, 中央経済社, 中央経済グループパブリッシング(発売) (2020)

[4] 東京大学教養学部統計学教室：統計学入門, 基礎統計学, 東京大学教養学部統計学教室編, No. 1, 東京大学出版会(1991)

UTMD×サイバーエージェント共催シンポジウムのアーカイブ動画を公開

「官学民連携」による新たな官公庁・地方自治体業務の在り方を検討するシンポジウム「Govtechとマーケットデザイン」を2022年2月24日（木）にオンライン開催いたしました。保育所利用調整ルールについて実証実験に取り組む多摩市・渋谷区の担当のみなさまにもご登壇いただき、官民連携を超えた「官学民連携」による、新たな官公庁・地方自治体業務の在り方について意見交換をいたしました。ぜひアーカイブ動画をご覧ください。